Характеристическое свойство арифметической прогрессии

На этом уроке мы познакомимся с характеристическим свойством арифметической прогрессии и решим ряд задач с его использованием.
Вначале вспомним, что такое числовая последовательность, арифметическая прогрессия, формулы n-го члена и суммы членов конечной прогрессии. Далее докажем прямую и обратную теоремы для арифметической прогрессии и сформулируем характеристическое свойство. В конце решим ряд задач на использование формулы характеристического свойства арифметической прогрессии.

Тема: Прогрессии

Урок: Характеристическое свойство арифметической прогрессии

1. Повторение. Опорные факты

Функцию , где , называют функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью:

В арифметической прогрессии действуют определенные закономерности. Они выражены в следующих важных формулах.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

.

Первая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

.

Вторая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: .

2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Доказать, что каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов.

Доказательство.

Из определения арифметической прогрессии следует, что

.

Значит, , , .

причем это свойство справедливо для всех n=2, 3,4, …

Таким образом, если мы имеем арифметическую прогрессию, то в ней справедливо доказанное характеристическое свойство.

Справедливо обратное утверждение, а именно: если в последовательности () каждый член, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов, то последовательность () – арифметическая прогрессия.

Действительно, из равенства , получаем или , n=2, 3, 4 … и т. д.

Т. е.

Следовательно, разность между предыдущим и последующим членами остается постоянной, а это означает, что последовательность () – арифметическая прогрессия.

Мы доказали, что если последовательность является арифметической прогрессией, то справедливо характеристическое свойство, т. е. каждый член, начиная со второго есть среднее арифметическое соседних членов.

Доказали обратное утверждение: если каждый член последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних членов, то такая последовательность является арифметической прогрессией.

Таким образом, доказана следующая теорема:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Эта теорема называется характеристическим свойством арифметической прогрессии.

3. Решение задач на доказанное свойство

1. При некотором значении х числа являются последовательными членами конечной арифметической прогрессии.

Найдите значения .

Дано: { } – арифметическая прогрессия.

Найти:.

Решение.

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: , .

Ответ: х=1; а1=3; а2=6; а3=9.

2. Даны три функции .

Найдите значение t, при котором числа у1, у2, у3 в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

Дано:

Найти:

Решение:

Применим характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность , если у2, средний член, есть среднее арифметическое соседних, т. е. .

t

       

Ответ: t=1; у1=7, у2=1, у3=-5.

Задача решена.

3. Дано: числа a, b, c удовлетворяют условиям .

Доказать: числа в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся характеристическим свойством.

Три числа в указанном порядке будут образовывать арифметическую прогрессию, если .

.

Все преобразования равносильные, эквивалентные, если а, в, с ненулевые числа.

Таким образом, мы доказали, что характеристическое свойство имеет место, значит, три числа образуют арифметическую прогрессию.

Что и требовалось доказать.

4. Еще одно свойство арифметической прогрессии

Дано: () – арифметическая прогрессия, d≠0.

Доказать: , если (1)

Доказательство.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

.

Имеем следующую цепочку равносильных преобразований:

.

Последнее равенство верно в силу условия. Но из этого верного равенства в силу равносильности можно получить исходное первое равенство.

Значит, свойство доказано.

5. Решение задач на доказанное свойство

1. Дано: , .

Найти: .

Решение:

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: .

Ответ: .

2. Дано: , .

Найти:,

Решение.

Воспользуемся доказанным свойством: =, т. к. 1+19=9+11=3+17=20

Ответ: =.

6. Итог урока

Итак, мы изучили характеристическое свойство арифметической прогрессии, решили несколько задач с применением указанного свойства. Следующий урок посвятим решению типовых задач на арифметическую прогрессию.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков, К. И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А. Г. , Мишутина Т. Н., Тульчинская Е. Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г. И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College. ru по математике .

2. Портал Естественных Наук .

3. Exponenta. ru Образовательный математический сайт .

Рекомендованное домашнее задание

1. № 376, 378, 444 (Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.89 (Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков