Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях

На этом уроке мы будем решать задачи на область определения и область значений в более сложных случаях. Также решим некоторые сопутствующие задачи, например, задачи с параметром.

Тема: Числовые функции

Урок: Задачи на нахождение области определения и области значения функции в более сложных случаях

1. Вступление

Важными характеристиками конкретных функций являются область определения и область значений. На уроке будут рассматриваться задачи на нахождение области определения, области значений функции, сопутствующие задачи на функции, включая задачи с параметрами.

2. Задача 1

Найдите область определения функции .

Решение. Область определения задается неравенством

Рис. 1. Область определения функции

Ответ:

3. Задача 2

Найдите область определения функции .

Решение. Область определения задается системой

Рис. 2. Область определения функции

Ответ:

4. Задача 3

Найдите область определения и область значения функции Изобразите схематически ее графики.

Решение.

1. Область определения задается неравенством (см. Рис. 3)

.

2. Под корнем имеем функцию , где (см. Рис. 4). Область значения этой функции Поскольку и то .

Ответ:

Рис. 3. График функции

Рис. 4. График функции при .

Рис. 5. Схематический график функции .

3. Схематический график функции изображен на Рис.5.

.

.

x

-4

0

4

y

0

4

0

5. Примечание

На примере данной функции иллюстрируется связь между областью значения, областью определения и графиком.

1. Проекция графика функции на ось - область определения: (см. Рис. 6).

       

Рис. 6. Проекция графика функции на ось .

2. Область значений функции – проекция графика на ось .

6. Сопутствующая задача с параметром

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

Решение. Строится график функции .

Пересечение прямой и графика функции существует тогда и только тогда, когда (см. Рис. 7).

Ответ:

Рис. 7. График функций

7. Задача с кусочно заданной функцией

а. Найдите

б. Вычислите

в. Постройте график функции.

г. Найдите

д. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

Решение.

в. Построим график функции (см. Рис. 8).

Рис. 8. График функции f(х)

С помощью графика решим остальные задачи.

а. Область определения – проекция графика на ось

б. Из графика (см. Рис. 9 ) не существует.

Рис. 9. График функции f(x) и ее значение в соотвествующих точках

г. Область значения – проекция графика на ось

д. Искомое множество совпадает с областью значения функции. Значит .

8. Итог урока

На уроке были рассмотрены задачи на нахождение области определения и области значений конкретных функций. Рассмотрены сопутствующие задачи, включая задачи с параметрами. На следующем уроке будут рассматриваться способы задания функций.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков, К. И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А. Г. , Мишутина Т. Н., Тульчинская Е. Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г. И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College. ru по математике .

2. Портал Естественных Наук .

3. Exponenta. ru Образовательный математический сайт .

Рекомендованное домашнее задание

1. № 6, 13, 20 (Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 8.131 (Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).