Задачи на вычисление площадей плоских фигур

На данном уроке мы будем решать задачи на вычисление площадей плоских фигур. Поскольку для решения подобных задач необходима работа с определёнными интегралами, то мы попутно отработаем навыки работы с этим видов интегралов.

1. Повторение основных правил вычисления площадей плоских фигур

Повторение

Повторение начнем с основного определения. Что такое первообразная?

1. Определение. Функцию называют первообразной для функции на заданном промежутке , если для всех из выполняется равенство .

Пример. Мы умеем дифференцировать функцию .

Значит, .

2. Основная задача интегрального исчисления:

Найти , зная – скорость ее изменения.

3. Если – одно из решений задачи, то – множество всех ее решений.

. Все это множество называется неопределенным интегралом.

Итак, нахождение первообразной – это восстановление функции по ее скорости.

Если физический прибор дает скорость, а мы находимся на борту или в автобусе, или в автомобиле и умеем интегрировать, то мы найдем путь. Если прибор дает ускорение, а мы умеем интегрировать, то мы найдем скорость. А если мы скорость проинтегрируем, мы получим расстояние. Если проинтегрировать по 3-м осям, то мы можем знать месторасположение летательного аппарата в каждый момент времени.

4. Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и тремя прямыми. Рис. 1.

Рис. 1. Нахождение площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и тремя прямыми

Вспомним, как мы искали площадь:

Разбили отрезок на одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчатой ломаной, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили в пределе и

этот предел назвали определенным интегралом и обозначили его .

Таким образом, мы определили площадь, но еще находить ее численно не умели.

Как же мы численно смогли найти площадь криволинейной трапеции?

Рис. 2. Функция S(x)

Ввели функцию . Рис. 2. Каждому площадь под соответствующей частью кривой .

Мы доказали, что производная этой же функции . Значит – первообразная. И – приращение первообразных на отрезке То есть, можно взять первообразную в точке и отнять первообразную в точке . И таким образом получить формулу .

Итак, нахождение площади криволинейной трапеции – важное применение первообразной.

5. Выпишем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Найти площадь под кривой

. Рис. 3.

Площадь ищется следующим образом:

Рис. 3. Площадь под кривой

Повторим: Нужно найти одну из первообразных и взять пределы от a до b, – любая функция, важно, чтобы она была непрерывной

6. Далее с помощью первообразных мы научились находить площадь между двумя кривыми.

Постановка задачи: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

. Рис. 4.

Рис. 4. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Площадь такой фигуры вычисляется следующим образом:

,

где – одна из первообразных разности .

Таким образом, мы повторили опорные факты.

Перейдем к конкретным примерам. Вот первый из них:

2. Пример 1

Пример 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

. Рис. 5.

Рис. 5. Площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

В силу симметрии достаточно вычислить половину площади и удвоить ее. Так и поступим.

Искомая площадь:

Ответ:

3. Пример 2

Пример 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

.

Рис. 6. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Речь идет о заштрихованной площади. Поступаем, как раньше. Сначала надо найти пределы интегрирования, то есть точки пересечения. Они легко находятся: это точки Значит, пределы интегрирования найдены. Площадь:

Ответ:

Следующая задача аналогичная, но решим ее по-иному.

4. Пример 3

Пример 3.

       

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

.

Решение.

Сначала построим графики: рис. 7.

. График – парабола, ветви направлены вниз, корни . Вершина – .

График функции . Искомая площадь:

Рис. 7. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Решим эту задачу следующим образом:

Сначала мы найдем площадь прямоугольника

Найдем площадь криволинейного треугольника

И вычтем площади. Получим искомую площадь.

Ответ:

Последнее действие

.

В следующей задаче имеем и кривую, и касательную к ней в точке.

5. Пример 4

Пример 4.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Параболой , касательной к ней в точке с абсциссой , осью ;

Решение.

Итак, три линии образуют искомую площадь.

Первая линия, это известно.

Вторая – касательная в точке с абсциссой . Чтобы не отвлекаться от данной темы, мы воспользуемся данными предыдущих уроков, какая касательная была нами найдена .

Следующая прямая – ось . Получаем такую фигуру: рис. 8.

Рис. 8. Площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой , касательной к ней в точке с абсциссой , осью

Находим ее площадь:

Пределы интегрирования: .

Ответ: .

Постановка следующей задачи нам уже известна.

6. Пример 5

Пример 5.

Найти массу неоднородного стержня , если плотность= sinx + 1. .

Решение.

Стержень помещен в координатной плоскости, как показано на рисунке:

Рис. 9. Стержень в координатной плоскости

В каждой точке плотность известна и меняется по закону= sinx + 1. Чтобы найти массу, знаем, что надо найти площадь под этой плотностью. Площадь мы искать умеем:

Ответ:

Следующая задача о движении точки по прямой.

7. Пример 6

Пример 6.

Найдите перемещение точки, если скорость меняется по закону . Рис. 10.

Решение.

Оси координат t, v:

Рис. 10. Перемещение точки

Нам нужно найти перемещение, значит, площадь под скоростью. Здесь задача настолько простая, что можно обойтись без интеграла.

Сделаем двумя способами:

С помощью интеграла:

Эту площадь можно найти как площадь прямоугольного треугольника:

Ответ:

Итак, мы рассмотрели задачи на вычисление площадей плоских фигур, далее перейдем к изучению корней и степеней.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Mathprofi. ru . Dok. opredelim. com . School. xvatit. com .

Домашнее задание

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции касательной к графику этой функции в точке и осью ординат. Вычислите массу участка стержня от , если его линейная плотность задается формулой Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1018, 1026, 1027, 1038.