Задачи по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме «Задачи по теме “Арифметическая и геометрическая прогрессии”». Дается определение арифметической прогрессии, формулы n-го члена и суммы n-х членов, характеристическое свойство арифметической прогрессии, определение и основные свойства геометрической прогрессии. Рассматриваются примеры задач арифметической и геометрической прогрессии.

1. Тема урока, повторение теории

Здесь мы рассмотрим задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, начнем с краткого повторения теории.

арифметическая прогрессия, если = = … = где – разность прогрессии. – формула го члена; – сумма n членов; , ,… - характеристическое свойство арифметической прогрессии; , если

– геометрическая прогрессия, если , где – знаменатель прогрессии, – формула n-го члена; – сумма n первых членов, , - характеристическое свойство; , если

2. Решение задач

Рассмотрим задачи

1. Три числа составляют конечную геометрическую прогрессию. Если из последнего числа вычесть 16, то получится конечная арифметическая прогрессия. Найдите два последних числа, если первое равно 9. Обозначим искомые числа y и z. Дано: – геометрическая прогрессия, – арифметическая прогрессия. Найти: . Решение: Воспользуемся характеристическим свойством геометрической и арифметической прогрессий и составим систему: или Ответ:

2. Сумма трех чисел, составляющих конечную арифметическую прогрессию, равна 24. Если второе число увеличить на 1, а последнее на 14, то получится конечная геометрическая прогрессия. Найдите эти числа. Обозначим числа . Дано: – арифметическая прогрессия, – геометрическая прогрессия, Найти: Решение: Воспользуемся характеристическим свойством геометрической и арифметической прогрессий и составим систему: Ответ:

3. Сумма третьего и седьмого членов арифметической прогрессии равна 100. Найдите сумму первых девяти членов прогрессии. Дано: арифметическая прогрессия, Найти: . Решение: Ответ:450.

4. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 111. Второе число больше первого в 5 раз. Найдите эти числа. Дано: – арифметическая прогрессия, Найти: Решение: – характеристическое свойство, подставляем: 2Ответ: 7,4; 37; 66,6.

5. В возрастающей геометрической прогрессии Найти и .Дано: Найти: . Решение: =72, т. к. – мы видим, что это корни квадратного уравнения Ответ: 3; 24.

       

6. Докажите тождество: . Доказательство: – геометрическая прогрессия, т. к. ; Тождество верно при . При подставляем и получаем 0=0 – верно. Вывод: Тождество верно при всех

3. Подведение итогов

Мы рассмотрели смешанные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию.

Список литературы

Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Домашнее задание

Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 527 — 530.

Дополнительные WEB-ресурсы

Открытая математика . Задачи . Задачи . РЕШУ ЕГЭ .