Аналитический способ

На этом уроке мы начнем изучать способы задания функций и начнем с изучения аналитического способа задания функции, то есть с помощью формул. Вначале вспомним определение функции и сформулируем главное правило, которому должен подчиняться аналитический закон. Рассмотрим несколько примеров аналитического задания функции. Повторим построение графиков и нахождения области определения и области значений аналитически заданной функции. В конце решим ряд задач на построение функций, в том числе и задачи с параметром.

Тема: Числовые функции

Урок: Аналитический способ

1. Вступление

На уроке изучаются способы задания функции и рассматривается задание функции аналитическим способом, то есть с помощью формул.

Определение. Функцией называется закон (правило), по которому каждому элементу (числу) из множества ставится в соответствие единственный элемент (число) .

В определении: – независимая переменная (аргумент), - зависимая переменная (функция), множество – область определения, то есть множество всех допустимых значений аргумента.

Из определения ясно: чтобы задать функцию, надо задать закон или правило. Надо учесть единственное требование, которому должен удовлетворять этот закон : каждому должен соответствовать единственный элемент .

2. Конкретные примеры аналитического (формульного) задания функции

Линейная функция.

а.

б.

Рис. 1. График функции

Требуется: для каждой функции построить график, найти область определения и область значений.

Решение.

а. Строится график функции (см. Рис. 1).

Ответ:

б. Строится график функции (см. Рис. 2).

Ответ:

Рис. 2. График функции

Квадратичная функция.

а.

б.

Требуется: для каждой функции построить график, найти область определения и область значений.

Решение.

Рис. 3. График функции

а. Строим график функции (см. Рис. 3).

Ответ:

Чтение графика: если возрастает от до , то убывает от до ; если возрастает от до , то возрастает от до .

б. Строим график функции (см. Рис. 4).

Рис. 4. График функции

Ответ: область определения – проекция на ось . Область значений – проекция на ось .

Чтение графика: если возрастает от до , то убывает от до ; если возрастает от до , то возрастает от до .

3. Сопутствующая задача (на чтение графика)

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение , где :

1. Имеет хотя бы одно решение;

2. Имеет одно решение;

3. Имеет два решения.

Решение.

Решить задачу с параметром означает рассмотреть все значения параметра и при каждом из них указать ответ.

Решение задачи выполняется по алгоритму.

Рис. 5. График функций

и

1. Построить график функции, стоящей в левой части исходного уравнения , то есть график квадратичной функции (см. Рис. 4).

2. Рассечь график семейством прямых (см. Рис. 5).

3. Найти точки пересечения и их количество.

       

4. Выписать ответ.

Ответ:

1. Уравнение имеет хотя бы одно решение при (это следует из определения области значений, то есть каждое значение функции из области значений достигается хотя бы при одном значении аргумента);

2. Одно решение при ;

3. Два решения при .

Примечание. Данные задачи важны, так как встречаются на экзаменах в 9 и 11 классах.

4. Пример аналитического задания функции с помощью нескольких формул

Дана функция , где

Требуется:

1. Построить график функции;

2. Найти ее области определения и значений.

Решение. График функции изображен на Рис.6.

Рис. 6. График функции

Ответ: область определения – проекция графика функции на ось ; область значений – проекция графика функции на ось .

5. Сопутствующая задача (на чтение графика)

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение , где :

1. Имеет хотя бы одно решение;

2. Имеет только одно решение;

3. Имеет два решения.

Чтение графика: если возрастает от до , то возрастает от до ; если возрастает от до , то возрастает от до ; если возрастает от до , то убывает от до .

Решение. Воспользуемся соответствующим алгоритмом (см. п.3).

1. Построить график функции (см. Рис. 6).

2. Рассечь график функции семейством прямых (см. Рис. 7).

3. Найти точки пересечения и их количество.

4. Выписать ответ.

Рис. 7. График функции

и где

Ответ:

1. Уравнение имеет хотя бы одно решение при ;

2. Уравнение имеет только одно решение при ;

3. Уравнение имеет два решения при .

6. Итог урока

На этом уроке повторили определение функции, рассмотрели аналитические способы задания функций ( с помощью одной или нескольких формул ). Этот способ задания функций будет использоваться и далее.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков, К. И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А. Г. , Мишутина Т. Н., Тульчинская Е. Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г. И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College. ru по математике .

2. Портал Естественных Наук .

3. Exponenta. ru Образовательный математический сайт .

Рекомендованное домашнее задание

1. № 14,15, 17 (Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 8.132 (Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков