На этом уроке мы продолжим изучение арксинуса и решение уравнений вида sin t = a. В начале урока решим уравнение с нетабличным значением и рассмотрим решение на числовой окружности и на графике. Далее выведем общую формулу ответа для уравнения sin t = a, рассмотрим различные формы записи ответа и рассмотрим некоторые важные частные случаи решения. В конце урока решим несколько более сложных уравнений.
Тема: Тригонометрические уравнения
Урок: Арксинус и решение уравнения sint=a
1. Тема урока, введение
Мы узнали, что такое арксинус и теперь с его помощью решим уравнение 
при любом допустимом 
.
2. Решение задач
Задача 1. Решить уравнение 
Решение:
значит, уравнение имеет решения.
Решим с помощью числовой окружности.
На линии синусов отметим точку 
Проведём перпендикуляр к линии синусов до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности – 
(рис. 1).
Выпишем множества действительных чисел, соответствующих точкам:
Возможна и иная форма записи: 
Проиллюстрируем решение этого же уравнения на графике.
Необходимо построить графики функций 
и найти абсциссы точек их пересечения (рис. 2).
Ответ:
3. Решение уравнения sint=a в общем виде
Решим уравнение 
в общем виде.
Решение:
Отметим на линии синусов точку с координатой 
Проведем перпендикуляр к линии синусов до пересечения с окружностью и получим две точки на окружности – (рис. 3).
Точка 
соответствует множеству действительных чисел 
Точка 
соответсвует множеству действительных чисел 
Используем иную запись ответа 
При 
четном, т. е. 
получаем формулу (1);
При нечетном, т. е. 
получаем формулу (2).
Ответ: 
4. Частные случаи уравнения sint=a
Рассмотрим частные случаи решения тригонометрического уравнения 
a) 
b) 
c) 
5. Решение уравнений
Рассмотрим более сложные уравнения.
Задача 2. Решить уравнение 
Решение:
Произведём замену переменной: 
(не подходит);
Ответ: 
Задача 3. Решить уравнение 
Решение:
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
(не подходит).
Теперь решим уравнение 
(рис. 7).
Либо 
Ответ: 
6. Вывод, заключение
Мы рассмотрели решение уравнения 
для любого 
при этом использовали определение арксинуса.
На следующем уроке мы познакомимся с определением арктангенса.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.
7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
№№ 22.9 – 22.12.
Дополнительные веб-ресурсы
1. Математика .
2. Интернет-портал Problems. ru .
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам .
