Арксинус и решение уравнения sinx=a (алгебра 10 класс)

На уроке по теме «Арксинус и решение уравнения sinx=a» рассматривается понятие арксинуса числа, который можно вычислять по графику и на единичной окружности, и решается уравнение sinx=a.

Тема: Итоговое повторение курса алгебры 10 класса

Урок: Арксинус и решение уравнения sinx=a

1. Введение. График функции y=sinx, x∈[-π/2;π/2]

На уроке рассматривается понятие функции арксинус, примеры на вычисление арксинусов по графику и на единичной окружности, решается уравнение при .

По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной.

Функция не монотонна на всей своей области определения, а на промежутке она непрерывна, монотонна и пробегает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция для нее на этом промежутке, она называется арксинус.

Построим график функции на отрезке (рис. 1) и будем находить значения арксинусов чисел по этому графику.

Рис. 1.

2. Понятие арксинуса числа и его свойства

Определение:

Арксинусом числа называется такой угол из промежутка , синус которого равен числу

Свойство: для любого , такого что выполняется равенство

Примеры 1. (рис. 1):

3. Некоторые значения арксинуса на единичной окружности

Построим единичную окружность и отметим на ней точки , найдем соответствующие значения синусов на оси ординат (рис. 3).

Рис. 2.

Пример 2. (рис. 2):

Свойство: для любого , такого, что выполняется равенство

Пример 3. (проверка свойства):

4. Решение уравнения sinx=a при |a|≤1

Пример 4. Решить уравнение

Решение: на оси синусов отметим точку , проведем перпендикуляр к оси до пересечения с окружностью в точках и (рис. 3).

Рис. 3.

Объединим эти решения одной формулой:

Ответ:

В общем виде решение уравнения при :

       

Рассмотрим подробней объединение двух серий решений

Перепишем их следующим образом:

Замечаем, что если перед стоит знак , то у числа множителем является четное число (см. первую строку), если же перед стоит знак -, то у числа множителем является нечетное число (см. вторую строку).

Это наблюдение позволяет записать общую формулу для решения уравнения:

5. Частные случаи

(рис. 4).

Рис. 4.

(рис. 5).

Рис. 5.

(рис. 6).

Рис. 6.

6. Итог урока

На уроке был рассмотрен график функции на промежутке , поскольку на этом промежутке функция монотонна и пробегает все свои значения от до Также было рассмотрено понятие арксинуса и решено уравнение вида , при со своими частными случаями.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics. ru .

2. Портал Естественных Наук .

3. Интернет-портал Exponenta. ru .

Сделай дома

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 21.1, 21.2, 21.19, 21.20(б).

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков