Числовая последовательность и способы ее задания

На этом уроке мы начнем изучение прогрессий. Здесь мы познакомимся с числовой последовательностью и способами ее задания.
Вначале напомним определение и свойства функций числовых аргументов и рассмотрим частный случай функции, когда х принадлежит множеству натуральных чисел. Дадим определение числовой последовательности и приведем несколько примеров. Покажем аналитический способ задания последовательности через формулу ее n-го члена и рассмотрим несколько примеров на задание и определение последовательности. Далее рассмотрим словесное и рекуррентное задание последовательности.

Тема: Прогрессии

Урок: Числовая последовательность и способы ее задания

1. Повторение

Числовая последовательность, как мы увидим, это частный случай функции, поэтому вспомним определение функции.

Функцией называется закон, по которому каждому допустимому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

Вот примеры известных функций.

1. .

Рис. 1. График функции

Допустимы все значения, кроме 0. Графиком этой функции является гипербола (см. Рис.1).

2.. Допустимы все значения, .

Рис. 2. График функции

График квадратичной функции – парабола, характерные точки тоже отмечены (см. Рис.2).

3..

Рис. 3. График функции

Допустимы все значения х. График линейной функции – прямая (см. Рис.3).

2. Определение числовой последовательности

Если х принимает только натуральные значения (), то имеем частный случай, а именно числовую последовательность.

Напомним, что натуральными являются числа 1, 2, 3, …, n, …

Функцию , где , называют функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью, и обозначают следующим образом: или , или .

Поясним, что обозначает, например, запись .

–это значение функции, когда n=1, т. е. .

–это значение функции, когда n=2, т. е. и т. д. …

–это значение функции, когда аргумент равен n, т. е. .

3. Примеры последовательностей

1. - это формула общего члена. Задаем различные значения n, получаем различные значения у – членов последовательности.

, когда n=1; , когда n=2 и т. д., .

Числа являются членами заданной последовательности, а точки лежат на гиперболе – графике функции (см. Рис.4).

2..

Рис. 4. График функции

Если n=1, то ; если n=2, то ; если n=3, то и т. д.

Числа являются членами заданной последовательности, а точки лежат на параболе - графике функции (см. Рис.5).

Рис. 5. График функции

3..

Рис. 6. График функции

Если n=1, то ; если n=2, то ; если n=3, то и т. д.

Числа являются членами заданной последовательности, а точки лежат на прямой - графике функции (см. Рис.6).

4. Аналитический способ задания последовательности

Существует три способа задания последовательностей: аналитический, словесный и рекуррентный. Рассмотрим каждый из них подробно.

Последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена .

Рассмотрим несколько примеров.

1. Найти несколько членов последовательности, которая задана формулой n-го члена: (аналитический способ задания последовательности).

Решение. Если n=1, то ; если n=2, то ; если n=3, то и т. д.

Для заданной последовательности найдем и .

Решение.

.

.

2. Рассмотрим последовательность, заданную формулой n-го члена: (аналитический способ задания последовательности).

Найдем несколько членов этой последовательности.

Если n=1, то ; если n=2, то ; если n=3, то и т. д.

Вообще нетрудно понять, что членами этой последовательности являются те числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1.

а. Для заданной последовательности найти .

Решение: . Ответ: .

б. Даны два числа: 821, 1282. Являются ли эти числа членами заданной последовательности?

Решение:

Для того чтобы число 821 было членом последовательности, необходимо, чтобы выполнялось равенство: или . Последнее равенство является уравнением относительно n. Если решением данного уравнения является натуральное число, то ответ положительный.

В данном случае это так. .

Ответ: да, 821 – член заданной последовательности, .

Переходим ко второму числу. Аналогичные рассуждения приводят нас к решению уравнения: .

Далее:

Ответ: поскольку n не является натуральным числом, то число 1282 не является членом заданной последовательности.

Формулы, которые аналитически задают последовательность, могут быть самыми разными: простыми, сложными и т. д. Требование к ним одно: каждому значению n должно соответствовать единственное число.

3. Дано: последовательность задана следующей формулой .

       

Найти три первых члена последовательности.

Решение.

, , .

Ответ: , , .

4. Являются ли числа членами последовательности ?

Решение:

а. , т. е. . Решая это уравнение, получаем, что . Это натуральное число.

Ответ: первое заданное число является членом данной последовательности, а именно пятым ее членом.

б. , т. е. . Решая это уравнение, получаем, что . Это натуральное число.

Ответ: второе заданное число тоже является членом данной последовательности, а именно девяносто девятым ее членом.

5. Словесный способ задания последовательности

Мы рассмотрели аналитический способ задания числовой последовательности. Он удобный, распространенный, но не единственный.

Следующий способ – это словесное задание последовательности.

Последовательность, каждый ее член, возможность вычисления каждого ее члена можно задать словами, не обязательно формулами.

Пример 1. Последовательность простых чисел.

Напомним, что простое число – это такое натуральное число, которое имеет ровно два различных делителя: 1 и само это число. Простыми являются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и т. д.

Их бесчисленное множество. Еще Евклид доказал, что последовательность этих чисел бесконечна, т. е. не существует самого большого простого числа. Последовательность задана, каждый член можно вычислить, утомительно, но можно вычислить. Эта последовательность задана словесно. Формулы, увы, не удается подобрать.

Пример 2. Рассмотрим число =1,41421…

Это иррациональное число, десятичная его запись предусматривает бесконечное число цифр. Рассмотрим последовательность десятичных приближений числа по недостатку: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; и т. д.

Членов этой последовательности бесконечное множество, каждое из них можно вычислить. Задать эту последовательность формулой нельзя, поэтому описываем ее словесно.

6. Рекуррентный способ задания последовательности

Мы рассмотрели два способа задания числовой последовательности:

1. Аналитический способ, когда задается формула n-го члена.

2. Словесное задание последовательности.

И, наконец, существует рекуррентное задание последовательности, когда задаются правила вычисления n-го члена по предыдущим членам.

Рассмотрим

Пример 1. Последовательность Фибоначчи (13 век).

Историческая справка:

Леона́рдо Пиза́нский (около 1170 года, Пиза — около 1250 года) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи (Fibonacci).

Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака» (Liber abaci, 1202 год; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 года). Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. «Книга абака» резко возвышается над европейской арифметико-алгебраической литературой XII—XIV вв. разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью изложения. Последующие математики широко черпали из неё как задачи, так и приёмы их решения. По первой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления.

Задаются первые два члена и каждый последующий член – это сумма двух предыдущих

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; … - первые несколько членов последовательности Фибоначчи.

Это последовательность задана рекуррентно, n-й член зависит от двух предыдущих.

Пример 2.

Последовательность задается следующим образом:

В этой последовательности каждый последующий член больше предыдущего на 2. Такая последовательность называется арифметической прогрессией.

Числа 1, 3, 5, 7 …- первые несколько членов этой последовательности.

Приведем еще один пример рекуррентного задания последовательности.

Пример 3.

Последовательность задается следующим образом:

Каждый последующий член этой последовательности получается умножением предыдущего члена на одно и то же число q. Такая последовательность имеет специальное название – геометрическая прогрессия. Арифметическая и геометрическая прогрессии будут объектами нашего изучения на следующих уроках.

Найдем несколько членов указанной последовательности при b=2 и q=3.

Числа 2; 6; 18; 54; 162 … - первые несколько членов этой последовательности.

Интересно, что эту последовательность можно задать и аналитическим способом, т. е. можно подобрать формулу. В данном случае формула будет таковой .

Действительно: если n=1, то ; если n=2, то ; если n=3, то и т. д.

Таким образом, мы констатируем: одна и та же последовательность может быть задана и аналитически и рекуррентно.

7. Итог урока

Итак, мы рассмотрели, что такое числовая последовательность и способы её задания.

На следующем уроке мы познакомимся со свойствами числовых последовательностей.

Список рекомендованной литературы:

1. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков, К. И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А. Г. , Мишутина Т. Н., Тульчинская Е. Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г. И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College. ru по математике .

2. Портал Естественных Наук .

3. Exponenta. ru Образовательный математический сайт .

Рекомендованное домашнее задание

1. № 331, 335, 338 (Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.4 (Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков