Формулы корней квадратных уравнений

На данном уроке мы вспомним метод выделения полного квадрата, решим с помощью него несколько конкретных квадратных уравнений. Затем выведем общую формулу для корней квадратных уравнений.

Метод выделения полного квадрата на примере решения квадратного уравнения

Напомним, что квадратным уравнением называется уравнение вида:

, причем .

На прошлом уроке мы рассмотрели неполные квадратные уравнения и методы их решения. Сейчас мы поговорим о полных квадратных уравнениях, то есть уравнениях, в которых ни один из коэффициентов не равен 0 ().

Основной метод, который используется для выведения формул корней квадратных уравнений, – метод выделения полного квадрата. Мы уже изучали его в 7 классе, однако необходимо вспомнить его более подробно.

Рассмотрим несколько конкретных примеров квадратных уравнений, которые мы решим с помощью использования этого метода.

Пример 1

Решить квадратное уравнение: .

Решение:

Коэффициенты данного квадратного уравнения: .

Для применения метода выделения полного квадрата воспользуемся следующей формулой: .

Метод выделения полного квадрата для данного примера состоит в том, чтобы подобрать число так, чтобы . Значит, .

Получаем:

Данное уравнение можно решать двумя способами.

Способ 1

. Отсюда или: , или: .

Ответ:.

Способ 2

. Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен 0. Поэтому данное уравнение эквивалентно двум: и: .

Ответ:.

Более сложный случай использования метода выделения полного квадрата

Мы рассмотрели метод выделения полного квадрата на частном примере. Давайте рассмотрим еще один, чуть более сложный пример, в котором старший коэффициент не будет равняться 1.

Пример 2

Решить квадратное уравнение: .

Решение:

Коэффициенты данного квадратного уравнения: .

Прежде чем выделять полный квадрат, вынесем 2 за скобки в первых двух слагаемых: .

Теперь в скобках выделим полный квадрат. Опять же, необходимо подобрать так, чтобы: .

Получаем следующее уравнение:

.

       

Отсюда:

.

Отсюда: или .

Ответ: .

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Разобрав конкретные примеры, можем перейти к получению общей формулы корней квадратного уравнения.

Итак, рассмотрим уравнение . Вынесем старший коэффициент за скобки в первых двух слагаемых: . Теперь выделим в скобочках полный квадрат: .

Далее: .

Теперь поделим обе части уравнения на , так как знаем, что в квадратном уравнении : .

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой .

Пока мы будем считать, что в нашем уравнении , то есть из него можно извлечь корень.

Тогда получаем: . Или:

.

Это и есть формула для корней квадратного уравнения в общем виде.

Если расписать ее, то можно получить две формулы для каждого из корней:

Если теперь мы вернемся к нашим примерам, то в уравнении дискриминант равен: . Тогда:

Применение полученных формул, выводы

На этом уроке мы вспомнили метод выделения полного квадрата, разобрали решение конкретных квадратных уравнений с помощью этого метода. Кроме того, мы вывели формулу корней квадратного уравнения и узнали, что такое дискриминант.

На следующем уроке мы рассмотрим применение формул корней квадратных уравнений.

Список литературы

Башмаков М. И. Алгебра, 8 класс. – М.: Просвещение, 2004. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" . Прикладная математика . Bymath. net .

Домашнее задание

№ 427-429, Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение. 2010 г. Решите уравнения: а) , б) , в), г) . Решите уравнения: а) , б) , в) .

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков