Функция y=logax, ее свойства и график (продолжение)

На данном уроке мы рассмотрим логарифмическую функцию – функцию вида у=log_а⁡х, ее свойства и график. Мы рассмотрим данную функцию как обратную к показательной

1. Логарифм, определение, основные факты

Логарифмическая функция базируется на понятии логарифма и свойства показательной функции , где (основание степени а больше нуля и не равно единице).

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Примеры:

Напомним основное правило: чтобы получить число, стоящее под логарифмом, необходимо основание логарифма возвести в степень – значение логарифма:

Напомним важные особенности и свойства показательной функции.

Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :

Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы

Такая функция монотонно возрастает на всей своей области определения.

Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :

Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы

Такая функция монотонно убывает на всей своей области определения.

В любом случае, показательная функция монотонна, принимает все положительные значения и, в силу своей монотонности, каждое положительное значение достигает при единственном значении аргумента. То есть, каждое конкретное значение функция достигает при единственном значении аргумента , корнем уравнения и есть логарифм:

По сути, мы получили обратную функцию. Прямая функция – это когда у нас есть независимая переменная х (аргумент), зависимая переменная у (функция), мы задали значение аргумента и по нему получаем значение функции. Обратная функция: пусть независимой переменной будет у, ведь мы уже оговорили, что каждому положительному значению у соответствует единственное значение х, определение функции соблюдается. Тогда х становится зависимой переменной.

Вывод:

Для монотонной прямой функции существует обратная функция . Суть функциональной зависимости не изменится, если мы введем переобозначение:

Получаем:

Но нам привычнее обозначать независимую переменную за х, а зависимую – за у:

Таким образом, мы получили логарифмическую функцию.

2. Свойства показательной функции

Используем общее правило получения обратной функции для конкретной показательной функции .

Заданная функция монотонно возрастает (согласно свойствам показательной функции), значит, существует обратная ей функция. Напоминаем, что для ее получения необходимо выполнить два действия:

Выразить х через у:

Поменять местами х и у:

3. Логарифмическая функция как обратная к показательной

Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:

Рис. 3. Графики функций и

       

4. Примеры нахождения обратной функции

Данная задача решается аналогично и справедлива для любого основания степени.

Решим задачу при

Заданная функция монотонно убывает, значит, существует обратная ей функция. Получим ее:

Выразить х через у:

Поменять местами х и у:

Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:

Рис. 4. Графики функций и

Заметим, что мы получили логарифмические функции как обратные к показательным.

У прямой и обратной функций есть много общего, но есть и отличия. Рассмотрим это подробнее на примере функций и .

Рис. 5. Графики функций (слева) и (справа)

5. Связь прямой и обратной функции

Свойства прямой (показательной) функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция возрастает;

Выпукла вниз.

Свойства обратной (логарифмической) функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция возрастает;

Выпукла вверх.

Обратим внимание, что область определения и область значений прямой и обратной функции меняются местами. Кроме того, если прямая функция возрастает, то и обратная возрастает. И, наконец, если прямая функция выпукла вниз, то обратная – вверх.

Таким образом, мы подтвердили связь прямой и обратной функции.

Итак, мы изучили логарифмическую функцию и ее связь с показательной функцией. На следующем уроке мы продолжим рассматривать логарифмическую функцию и научимся решать типовые задачи.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Edu. glavsprav. ru . Nado5.ru . Uztest. ru .

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 504, 505, 507;

2. Укажите область определения функции, обратной к заданной, не записывая ее:

а) ; б) ; в) ; г)

3. Укажите область значений функции, прямой относительно заданной, не записывая ее:

а) ; б) ; в) ; г) ;

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков