Касательная

На данном уроке мы вспомним, как найти уравнение касательной, и решим типовые задачи по этой теме

1. Повторение

Напомним, как получить уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

Рис. 1. График функции

Имеем график функции (Рис. 1). Независимая переменная или время . Функция (зависимая переменная) , или расстояние от дома .

В момент времени расстояние от дома равно . Следующий момент времени , и расстояние в этот момент равно .

Получим две точки , и пока что не касательную, а секущую . Угол наклона этой секущей – . Имеем приращение аргумента – , приращение функции – , и рассмотрим отношение приращений:

Средняя скорость является физическим смыслом этого отношения. А тангенс угла наклона – геометрическим смыслом.

Перейдем к касательной. Для этого устремим к 0.

При , . Тогда точка будет стремиться к точке . Тогда секущая будет стремиться к касательной.

– угол наклона касательной.

Рассмотрим отношение приращений при .

Более строгое определение производной

Нам важно знать, что

То есть значение производной в точке – это мгновенная скорость в момент . Это физический смысл. Геометрический смысл – это тангенс угла наклона касательной в этой точке. Итак, для касательной мы уже знаем тангенс угла наклона.

2. Уравнение касательной

Построим касательную к графику с абсциссой в точке (Рис. 2).

Касательная – это прямая. Ее уравнение имеет вид .

Следовательно, надо узнать угловой коэффициент и свободный член . Узнаем их из условий касания. Вот эти условия:

Рис. 2. Касательная к графику с абсциссой в точке

3. Параметры, используемые в уравнении касательной

Из этих условий сразу нашли первый параметр, то есть . Теперь уравнение касательной имеет вид:

Осталось найти свободный член .

Наша прямая проходит через заданную точку А. Подставим ее в уравнение:

Подставим найденное в исходное уравнение:

Чтобы уверенно решать многочисленные задачи на касательную, надо понимать смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.

Напомним:

1. – точка касания

2.

3. - точка на касательной

Заметим, что в окрестности точки и кривая, и касательная – это примерно одно и тоже, то есть:

Это является основой многочисленных приближенных вычислений.

4. Задача №1

Дано:

1. Написатьуравнение касательной к кривой в точке с абсциссой (Рис. 3).

Рис. 3. Касательная к кривой в точке с абсциссой

Решение:

1. Найти точку касания:

2. Найти производную в любой точке:

3. Найти производную в конкретной точке :

4. Выписать уравнение касательной

Ответ: .

Дано:.

2. Найти:а) площадь ; б) его гипотенузу (Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2

       

Решение:

1. Найдем координаты точки С:

2. Найдем координаты точки В:

3. Найдем площадь:

4. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:

Ответ: .

3. Написать уравнения касательных, проведенных из точки к параболе (Рис. 5).

Решение:

Выпишем уравнение касательной:

Далее по стандартной методике находим сначала первую касательную:

1.

2.

3.

Найдем вторую касательную:

1.

2.

3.

Ответ: .

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 3

5. Задача №2

Дано: 1. график функции (Рис. 6);

2. Касательная к нему в точке

Найти:

Рис. 6. График функции к задаче № 2

Решение:

1.

2.

Ответ: .

6. Задача №3

Дано:

1. График функции (Рис. 7);

2. Касательная к нему в точке

Найти:

Решение:

1.

2.

3.

4.

Рис. 7. Иллюстрация к задаче № 2

Ответ: .

Мы повторили тему касательная. Следующий урок посвятим изучению важной темы – интеграла.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Mat.1september. ru . Berdov. com . Uztest. ru .

Домашнее задание

Напишите уравнение касательной к функции в точке . Напишите уравнение касательной к функции в точке . В какой точке кривой касательная наклонена к оси абсцисс под углом . Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 814, 815, 823, 824.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков