Приближённые вычисления

Данный урок поможет получить представление о теме «Приближённые вычисления». Вначале обсуждается вопрос о возможности применения приближенных вычислений. Рассматривается общий приём получения с хорошей точностью приближенного значения для функций, имеющих довольно сложный график, не очень удобный для вычисления.

Тема: Производная

Урок: Приближенные вычисления

1. Приближенные вычисления

Приближенные вычисления можно рассматривать как одно из примененийпроизводной, а конкретно касательной данной функции. С приближениями мы встречаемся довольно часто, например, если нужно какие-то значения числа , то пишем , и т. д.

Рассмотрим общий прием получения с хорошей точностью приближенных значений. Предположим, что задана функция и эта функция имеет сложный график. Достаточно задать точку , для того чтобы получить касательную. Проведем в точке касательную. Запишем уравнение этой касательной . В окрестности точки график касательной и график данной функции почти не отличаются (см. рис.1). Предположим, что приращение аргумента невелико. Имеем - точное значение функции в точке . Приближенное значение дает касательная, и если невелико, то , то есть значение функции в новой точке мало отличается от значения линейной функции (касательной).

Рис. 1. График функции и касательная.

Итак, идея простая и ясная: в хорошей точки ( хорошая означает то, что в этой точке легко вычислить значение функции) легко вычислить значение . Если в точке легко вычислить значение , то в новой точке заменим значение на значение , то есть кривую заменим касательной. Получим примерный результат. Этот результат будет тем точнее, чем меньше будет приращение .

Например, вычислить приближенно величину (решение ниже).

Вычислить приближенно .

Сделаем иллюстрацию (см. рис.2).

Рис. 2. График функции .

, а . . Заменим значение функции в точке значением касательной .

; ; . Итак, .

Таким образом, приближенные вычисления основываются на уравнении касательной. Методику применения мы рассмотрели на конкретном примере.

2. Вывод формулы для приближенных вычислений

Рассмотрим формулы для приближенных вычислений для функции в окрестности точки , то есть в точке (см. рис.3).

Рис. 3. Окрестность точки .

Значение функции в точке равно . Доказать, что .

Доказательство.

Заменим функцию касательной.

; ; . Если заменим значение функции значением касательной, то получим .

Получили формулу, которая позволяет примерно, с достаточной степенью точности, вычислять нужные значения.

       

Применим эту формулу для решения примера, который был дан вначале: найти приближенное значение .

Рис. 4. Приращение аргумента.

Вычислим приращение (см. рис.4). Отсюда,

.

Если особая точность не нужна, то такое примерное вычисление довольно эффективно.

3. Итог урока

Итак, мы кратко рассмотрели теорию приближенных вычислений. Суть заключается в том, что сложную кривую в окрестности точки заменяем прямой (касательной к графику функции). И если приращения аргумента не велики, то для каждой функции можно вывести соответствующую формулу, по которой осуществляются приближенные вычисления.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics. ru .

2. Портал Естественных Наук .

3. Интернет-портал Exponenta. ru .

Сделай дома

№ 639 – 642 (Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.)

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков