Прямая и обратная функции

На данном уроке мы рассмотрим важные понятия прямой и обратной функции, методику получения обратной функции, приведем примеры.

Тема: Повторение

Урок: Прямая и обратная функции

1. Функция высоты от времени

Рассмотрим конкретный пример: набор высоты по закону

Здесь t – независимая переменная, время; h – зависимая переменная, функция, в данном случае высота; f – это закон. На заданный закон накладывается единственное требование – однозначность от аргумента к функции. Данное требование обосновывается очень просто: физическое тело в данный момент времени не может находиться одновременно в двух точках пространства. Поэтому каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции (рисунок 1).

Функция набора высоты от времени

Рис. 1. Функция набора высоты от времени

С данной функцией, как и с любой другой, связаны две основные задачи – прямая и обратная. Прямая задача состоит в том, чтобы по заданному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Решение очевидно: необходимо заданное значение аргумента подставить в закон f(t) и выполнить вычисление. Обратная задача заключается в том, чтобы по заданному значению функции () найти соответствующее ему значение аргумента (), при котором это значение достигается. В данном случае нам необходимо решить уравнение с известным h и неизвестным t и получить: .

2. Понятия прямой и обратной функций

Теперь рассмотрим общий случай. Пусть задана некоторая прямая функция, и эта функция монотонна, пусть она монотонно возрастает (рисунок 2).

Здесь – независимая переменная; – зависимая переменная, функция; – это закон, по которому каждому значению ставится в соответствие единственное значение .

То есть, задав , по закону получаем :

Поскольку функция монотонно возрастает по условию, можем сказать, что для нее большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

График прямой монотонной функции

Рис. 2. График прямой монотонной функции

Так, функция определена на множестве , пусть это отрезок . Только из этого отрезка может принимать значения аргумент. При этом функция может принимать только значения из множества – отрезок . Множество – область определения функции; множество – область значений функции.

Рассмотрим обратную функцию. Если считаем, что в данном случае – независимая переменная, то каждому значению ставится в соответствие единственное значение , поскольку функция монотонна.

обратная функция монотонно возрастает, как и прямая, то есть большему значению у ставится в соответствие большее значение х:

3. Методика получения обратной функции

Так, сделаем вывод: если прямая функция монотонна, то к ней существует обратная функция.

Рассмотрим методику получения обратной функции.

Дано: , функция монотонно возрастает;

Задача: найти обратную функцию и дать иллюстрацию в плоскости ()

Из условия знаем: – независимая переменная; – зависимая переменная, функция; – это закон, по которому каждому значению ставится в соответствие единственное значение .

Рассмотрим график прямой функции:

График прямой функции

Рис. 3. График прямой функции

На рисунке видно, что заданная функция монотонно возрастает и определена только на множестве – отрезке .

Для того чтобы получить обратную функцию, нужно:

1. Выразить через , то есть решить уравнение относительно и получить . Полученный уже является обратной функцией, а – новым законом соответствия;

2. Выполнить переобозначение. Поскольку мы привыкли независимую переменную обозначать за , а зависимую – за , то в полученной обратной функции и следует поменять местами: . Так, получаем обратную функцию в виде

Проиллюстрируем. Для этого заметим, что прямая и обратная функции – кривые и – симметричны относительно прямой (рис. 4)

Графики прямой и обратной функций

Рис. 4. Графики прямой и обратной функций

4. Решение задач

Пример 1.

Дано: ;

Задача: найти обратную функцию и дать иллюстрацию в плоскости ()

Рассмотрим график:

График функции

Рис. 5. График функции и обратной ей функции

График функции нам известен, в данном случае она задана на интервале от нуля до бесконечности, и ее мы легко можем построить. Далее проводим ось симметрии и отображаем кривую – график обратной функции получен.

Чтобы найти аналитическое выражение обратной функции, действуем согласно алгоритму. Сначала отметим, что прямая функция монотонно возрастает, значит, для нее существует обратная функция, которая тоже будет монотонно возрастать.

Теперь выразим через :

Выполняем переобозначение:

Обратная функция найдена:

Пример 2.

Дано: ;

       

Задача: найти обратную функцию и дать иллюстрацию в плоскости ()

Мы знаем, что показательная функция с основанием степени, большим единицы, монотонно возрастает, значит, для нее существует обратная функция, которая тоже будет монотонно возрастать.

Рассмотрим график:

График функции нам известен, и ее мы легко можем построить. Далее проводим ось симметрии и отображаем кривую – график обратной функции получен.

График функции

Рис. 6. График функции и обратной ей функции

Чтобы найти аналитическое выражение обратной функции, действуем согласно алгоритму. Выразим через :

Выполняем переобозначение:

Обратная функция найдена:

Пример 3.

Дано: ;

Задача: найти обратную функцию и дать иллюстрацию в плоскости ()

Мы знаем, что показательная функция с основанием степени, лежащим в пределах от нуля до единицы, монотонно убывает, значит, для нее существует обратная функция, которая тоже будет монотонно убывать.

Рассмотрим график:

График функции

Рис. 7. График функции и обратной ей функции

График функции нам известен, и ее мы легко можем построить. Далее проводим ось симметрии и отображаем кривую – график обратной функции получен.

Чтобы найти аналитическое выражение обратной функции, действуем согласно алгоритму. Выразим через :

Выполняем переобозначение:

Обратная функция найдена:

Пример 4.

Дано: ;

Задача: найти обратную функцию и дать иллюстрацию в плоскости ()

Мы знаем, что линейная функция с положительным угловым коэффициентом монотонно возрастает, значит, для нее существует обратная функция, которая тоже будет монотонно возрастать.

Рассмотрим график:

График функции

Рис. 8. График функции и обратной ей функции.

График функции нам известен, и ее мы легко можем построить.

Далее проводим ось симметрии и отображаем кривую – график обратной функции получен.

Чтобы найти аналитическое выражение обратной функции, действуем согласно алгоритму. Выразим через :

Выполняем переобозначение:

Обратная функция найдена:

Заметим, что три прямые – график функции, обратной функции и ось симметрии – пересекаются в одной точке – . Это легко можно проверить, решив систему:

Итак, мы рассмотрели понятие прямой и обратной функции, решили несколько задач. Далее будем рассматривать функцию и число

Список рекомендованной литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

College. ru . Terver. ru . Nado5.ru .

Рекомендованной домашнее задание

Найти обратную функцию и дать иллюстрацию в плоскости ():

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е)

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков