На этом уроке мы продолжим решение рациональных неравенств повышенной сложности с помощью метода интервалов. В примерах будут использованы более сложные комбинированные функции и будут рассмотрены типовые ошибки, возникающие при решении подобных неравенств.
Тема: Рациональные неравенства и их системы
Урок: Решение рациональных неравенств повышенной сложности
1. Тема урока, введение
Мы решали рациональные неравенства вида 
и для их решения использовали метод интервалов. Функция была либо линейная, либо дробно-линейная, либо многочлен.
2. Решение задач
Рассмотрим неравенства другого типа.
1. Решить неравенство 
Преобразуем неравенство с помощью эквивалентных преобразований.
Теперь можно исследовать функцию 
Рассмотрим функцию 
нет корней.
Схематически изобразим и прочитаем график функции 
(Рис. 1).
Функция 
положительна при любом 
.
Т. к. мы установили, что 
можем поделить обе части неравенства на это выражение.
Чтобы дробь была положительной, при положительном числителе должен быть положительный знаменатель. 
Рассмотрим функцию 
.
Схематически изобразим график функции - параболу, 
значит ветви направлены вниз (Рис. 2).
Ответ: 
2. Решить неравенство
Рассмотрим функцию 
1. Область определения 
2. Нули функции 
3. Выделяем интервалы знакопостоянства.
4. Расставляем знаки (Рис. 3).
Если скобка находится в нечетной степени, при переходе через корень функция меняет знак. Если скобка находится в четной степени, функция не меняет знак.
Мы допустили типовую ошибку – не включили в ответ корень 
. В данном случае равенство нулю допускается, т. к. неравенство нестрогое.
Чтобы не допускать таких ошибок, необходимо помнить, что
Ответ: 
Мы рассмотрели метод интервалов для сложных неравенств и возможные типовые ошибки, а также пути их устранения.
Рассмотрим еще один пример.
3. Решить неравенство
Разложим на множители каждую скобку в отдельности.
т. к. 
, потому можно не учитывать этот множитель.
Теперь можно применить метод интервалов.
Рассмотрим 
Сокращать числитель и знаменатель на 
мы не будем, это ошибка.
1. Область определения 
2. Нули функции нам уже известны 
не является нулем функции, т. к. не входит в область определения - в этом случае знаменатель равен нулю.
3. Определяем интервалы знакопостоянства.
4. Расставляем знаки на интервалах и выбираем промежутки, удовлетворяющие нашим условиям (Рис. 4).
Ответ: 
3. Заключение
Мы рассмотрели неравенства повышенной сложности, но метод интервалов дает нам ключ к их решению, поэтому мы будем использовать его и в дальнейшем.
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
Рекомендованное домашнее задание
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. №№ 37; 45(а, в); 47(б, г); 49.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Портал Естественных Наук .
2. Портал Естественных Наук .
3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку .
4. Виртуальный репетитор .
5. Центр образования «Технология обучения» .
6. Раздел College. ru по математике .
