В данном уроке мы вспомним определение и основные свойства логарифмов. Научимся на их основании решать различные типовые задачи.
Тема: Показательная и логарифмическая функция
Урок: Свойства логарифмов. Решение более трудных задач
1. Введение
Напомним центральное определение – определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения 
. Показательная функция 
монотонна, каждое положительное значение b она достигает при единственном значении аргумента. Это значение называют логарифмом b по основанию а: 
2. Основные факты о логарифмах
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Напомним основное логарифмическое тождество.
Выражение 
(выражение 1) является корнем уравнения 
(выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:
3. Решение примера
Примеры:
а) 
;
б) 
;
в) 
при любом а;
г) 
при любом а;
4. Новые свойства логарифма
Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь 
:
1. Логарифм произведения:
2. Логарифм частного:
3. Логарифм степени:
Свойства логарифмов используются при решении многочисленных типовых задач.
Пример 1 – вычислить:
Преобразуем заданное выражение используя свойства логарифмов:
Известные нам свойства логарифмов позволяют получать новые свойства, новые формулы, новые тождества.
Доказать:
Доказательство:
Прологарифмируем заданное равенство по основанию с:
Согласно известному свойству вынесем показатели степени как множители:
Получили верное равенство, тождество доказано.
Из полученного выражения можно обратным путем получить заданное.
Доказать:
Доказательство:
Рассмотрим левую часть. Поменяем в ней сомножители местами, от этого суть выражения не изменится:
Теперь первый сомножитель внесем под второй логарифм как показатель степени:
Применим основное логарифмическое тождество:
Получили 
, что и требовалось доказать.
Пример 2 – доказать тождество:
Согласно только что выведенной формуле имеем:
Значение данного выражения мы уже приводили в начале урока:
Доказать:
Доказательство:
Считаем, что все переменные принимают исключительно допустимые значения.
Прологарифмируем заданное равенство по основанию а:
Вынесем показатели степени как сомножители согласно свойству логарифма:
Перенесем все элементвы в левую часть:
Вынесем множитель за скобки:
Согласно только что доказанному свойству имеем:
Получили верное равенство.
Пример 3 – решить уравнение:
Решение данного уравнения позволит нам избежать в дальнейшем типовых ошибок, поэтому рассмотрим неверное и верное решение.
Неверное решение:
Согласно свойству логарифма, показатель степени выносим как сомножитель:
Сократим:
По определению логарифма:
Несложно догадаться, что здесь потерян один корень, т. к. если 
это решение данного уравнения, то и 
также является решением, потому что х стоит под квадратом.
Верное решение:
Укажем ОДЗ исходного уравнения:
При решении первым способом мы потеряли все отрицательные корни, когда вынесли показатель степени.
Здесь мы поставим модуль, и ОДЗ не сузится:
Вывод: при решении различных задач с логарифмами можно применять все изученные свойства и формулы, но очень важно следить за ОДЗ.
5. Типовые ошибки, как их избежать
Чтобы избежать типовых ошибок, рассмотрим некоторые формулы:
Например:
Итак, мы рассмотрели различные новые свойства логарифмов и их использование при решении конкретных задач. Далее мы рассмотрим формулу перехода к новому основанию логарифма.
Список литературы
1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. ГлавСправ .
2. Nado5.ru .
3. Uztest. ru .
Домашнее задание
1. Вычислить:
2. Вычислить:
3. Сравнить значения выражений:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
