Свойства логарифмов. Решение более трудных задач

В данном уроке мы вспомним определение и основные свойства логарифмов. Научимся на их основании решать различные типовые задачи.

Тема: Показательная и логарифмическая функция

Урок: Свойства логарифмов. Решение более трудных задач

1. Введение

Напомним центральное определение – определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Показательная функция монотонна, каждое положительное значение b она достигает при единственном значении аргумента. Это значение называют логарифмом b по основанию а:

2. Основные факты о логарифмах

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Напомним основное логарифмическое тождество.

Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

3. Решение примера

Примеры:

а) ;

б) ;

в) при любом а;

г) при любом а;

4. Новые свойства логарифма

Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь :

1. Логарифм произведения:

2. Логарифм частного:

3. Логарифм степени:

Свойства логарифмов используются при решении многочисленных типовых задач.

Пример 1 – вычислить:

Преобразуем заданное выражение используя свойства логарифмов:

Известные нам свойства логарифмов позволяют получать новые свойства, новые формулы, новые тождества.

Доказать:

Доказательство:

Прологарифмируем заданное равенство по основанию с:

Согласно известному свойству вынесем показатели степени как множители:

Получили верное равенство, тождество доказано.

Из полученного выражения можно обратным путем получить заданное.

Доказать:

Доказательство:

Рассмотрим левую часть. Поменяем в ней сомножители местами, от этого суть выражения не изменится:

Теперь первый сомножитель внесем под второй логарифм как показатель степени:

Применим основное логарифмическое тождество:

Получили , что и требовалось доказать.

Пример 2 – доказать тождество:

Согласно только что выведенной формуле имеем:

Значение данного выражения мы уже приводили в начале урока:

Доказать:

Доказательство:

Считаем, что все переменные принимают исключительно допустимые значения.

Прологарифмируем заданное равенство по основанию а:

       

Вынесем показатели степени как сомножители согласно свойству логарифма:

Перенесем все элементвы в левую часть:

Вынесем множитель за скобки:

Согласно только что доказанному свойству имеем:

Получили верное равенство.

Пример 3 – решить уравнение:

Решение данного уравнения позволит нам избежать в дальнейшем типовых ошибок, поэтому рассмотрим неверное и верное решение.

Неверное решение:

Согласно свойству логарифма, показатель степени выносим как сомножитель:

Сократим:

По определению логарифма:

Несложно догадаться, что здесь потерян один корень, т. к. если это решение данного уравнения, то и также является решением, потому что х стоит под квадратом.

Верное решение:

Укажем ОДЗ исходного уравнения:

При решении первым способом мы потеряли все отрицательные корни, когда вынесли показатель степени.

Здесь мы поставим модуль, и ОДЗ не сузится:

Вывод: при решении различных задач с логарифмами можно применять все изученные свойства и формулы, но очень важно следить за ОДЗ.

5. Типовые ошибки, как их избежать

Чтобы избежать типовых ошибок, рассмотрим некоторые формулы:

Например:

Итак, мы рассмотрели различные новые свойства логарифмов и их использование при решении конкретных задач. Далее мы рассмотрим формулу перехода к новому основанию логарифма.

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ГлавСправ .

2. Nado5.ru .

3. Uztest. ru .

Домашнее задание

1. Вычислить:

2. Вычислить:

3. Сравнить значения выражений:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков